RESEÑAS DE CIVILIZACIONES Y PERSONAJES QUE REALIZARON APORTES A LAS MATEMÁTICAS
Resumen
Al igual que las demás ciencias, la
matemática tuvo un inicio este se remonta a las primeras civilizaciones que se
formaron alrededor del mundo, a causa de necesidades que fueron surgiendo en la
vida social y agrícola, se fue haciendo presente la necesidad de contar de manera
más práctica y sencilla cosas como el ganado y demás animales, medir las parcelas
y tener noción y conocimiento de actividades y procedimientos comerciales. En cada
civilización se presentaron avances, descubrimientos y deducciones matemáticas
en diferentes formas y empleando diferentes objetos. Con el pasar del tiempo cada
una creó su sistema de numeración, por medio del cual lograban hacer sus
procedimientos de manera más sencilla; iniciando lo que sería una de las
ciencias más importantes y necesarias para la humanidad.
Al pasar de los años aparecen nuevos retos
en el campo matemático y con ellos surgen los grandes pensadores, hombres que
han hecho historia gracias a su intelecto y capacidad de pensamiento,
imaginación, deducción y formulación; lograron ser partícipes de la
construcción de la matemática por sus grandes y valiosos aportes; logrando
formar una matemática más estructurada, más amplia y con mayores campos de
conocimiento y de aplicación.
En este espacio se encuentran reseñas de
la historia matemática en la civilización griega, egipcia, romana, sumeria y
china. Buscando hacer un recuento de los diferentes aportes y descubrimientos
importantes que hicieron estas civilizaciones a la construcción de la
matemática. De igual manera de algunos
de esos personajes de mentes brillantes como Tales de Mileto, Pitágoras,
Diofanto de Alejandría, Rene Descartes; personajes que dejaron su legado e
hicieron aportes significativos al campo matemático.
Summary
Like the other
sciences, mathematics had a beginning, this goes back to the first
civilizations that were formed around the world, due to needs that were
emerging in social and agricultural life, the need to count in a way more
practical and simple things such as livestock and other animals, measure plots
and have notion and knowledge of business activities and procedures. In each
civilization mathematical advances, discoveries and deductions are presented in
different ways and using different objects. With the passing of time, each one
created their numbering system, through which they managed to make their
procedures more easily; initiating what would be one of the most important and
necessary sciences for humanity.
As the years go by, new challenges appear in the mathematical field and with them come the great thinkers, men who have made history thanks to their intellect and capacity for thought, imagination, deduction and formulation; they managed to be participants in the construction of mathematics due to their great and valuable contributions; managing to form a more structured, broader mathematics with greater fields of knowledge and application.
In this space there are reviews of the mathematical history in the Greek, Egyptian, Roman, Sumerian and Chinese civilizations. Seeking to make an account of the different contributions and important discoveries that these civilizations made to the construction of mathematics. In the same way of some of those characters with brilliant minds such as Thales of Miletus, Pythagoras, Diophantus of Alexandria, Rene Descartes; characters who left their legacy and made significant contributions to the field of mathematics.
CIVILIZACIONES
Civilización Griega
La civilización griega o la antigua Grecia se ubica aproximadamente entre el año 1100 a.C. y año 30 a.C. la cual estaba situada en el sur del oeste de Europa cerca del mar mediterráneo y el mar egeo.
También eran caracterizados por ser grandes pensadores y amantes al conocimiento y al desarrollar ideas y unido a ello surge la filosofía, forma de explicar el mundo a través de la razón orientado a cuestionar el conocimiento que tenemos de la realidad.
Entre los filosos más conocidos están Aristóteles, platón y Sócrates uniéndolos a la búsqueda de verdad basada en el razonamiento. La civilización griega además de ser amantes al arte de pensar, también eran amantes al teatro, y a las competencias deportivas.
La civilización griega basados en elementos matemáticos de los egipcios y los babilonios, reconocen tácitamente los axiomas plasmados desde el razonamiento deductivo que ofrece una base para las estructuras del número y la formas, y que la matemática es la manera más clara y resumida de comprender a la naturaleza.
Entre los principales matemáticos de la antigua gracia están Euclides quien demostró los teoremas fundamentales sobre la divisibilidad aritmética de las cuales dedujo Gauss en el 1801 el teorema fundamental de la aritmética, Euclides también realizo avances a la geometría plana elemental y a la geometría solidad. Arquímedes quien fue el primer matemático moderno y desarrolla una matemática fluida y dinámica aplicables al flujo incesante de la naturaleza. Thales de Mileto conocido como el primer matemático geómetra griego. Pitágoras quien hacia parte de las primeras sociedades científicas y sus aportes a la matemática pueden reflejarse en los avances en la geometría y aritmética, como lo es el teorema de Pitágoras, los números perfectos, construcción geométrica de los primeros solidos perfectos, entre otros. Hipócrates quien demostró la fuerza del método indirecto. entre otros matemáticos, que también hicieron parte la búsqueda del conocimiento matemático entre el año 1100 a.C. y año 30 a.C. (Bell, 1985)
Greek civilization
The Greek civilization or ancient Greece is located approximately between the year 1100 BC. and year 30 a.C. which was located in the south of western Europe near the Mediterranean Sea and the Aegean Sea.
They were also characterized by being great thinkers and lovers of knowledge and when developing ideas and together with this, philosophy arises, a way of explaining the world through reason aimed at questioning the knowledge we have of reality.
Among the best known philosophers are Aristotle, Plato and Socrates joining them in the search for truth based on reasoning. The Greek civilization besides being lovers of the art of thinking, they were also lovers of the theater, and of sports competitions.
The Greek civilization based on mathematical elements of the Egyptians and Babylonians, tacitly recognize the axioms embodied from deductive reasoning that offers a basis for the structures of number and forms, and that mathematics is the clearest and most summarized way of understanding nature.
Among the main mathematicians of ancient grace are Euclid who proved the fundamental theorems on arithmetic divisibility from which Gauss deduced in 1801 the fundamental theorem of arithmetic, Euclid also made advances to elementary plane geometry and solid geometry. Archimedes who was the first modern mathematician and develops a fluid and dynamic mathematics applicable to the incessant flow of nature. Thales of Miletus known as the first Greek geometer mathematician. Pythagoras who was part of the first scientific societies and his contributions to mathematics can be reflected in advances in geometry and arithmetic, such as Pythagoras' theorem, perfect numbers, geometric construction of the first perfect solids, among others. Hippocrates who demonstrated the strength of the indirect method. among other mathematicians, who also took part in the search for mathematical knowledge between 1100 BC. and year 30 a.C. (Bell, 1985)
Civilización Egipcia
La civilización egipcia tiene sus primeros inicios alrededor de los años 6000 A.C conocido como el periodo predinástico donde las poblaciones comienzan a asentarse en las orillas del rio Nilo, unos al norte y otros en el sur, se desarrollaron habilidades de agricultura organizada de cereales, la ganadería y construcción.
El rio Nilo fue la clave para que los egipcios lograran un desarrollo, como se mencionó anteriormente, se idearon canales con los cuales podían extender la creciente del rio a espacios más amplios aumentando así la cantidad de terreno fértil, aprendieron a identificar el comportamiento del rio, lo que los llevo a la necesidad de calcular el tiempo que se tomaba el rio entre una inundación y otra, creando así un calendario lunar y luego uno solar, en el que contaban los días e identificaban las épocas de inundación, lo que se tardaba en drenar el agua, el tiempo para sembrar y el de cosecha. Aparte también surge la necesidad de medir los terrenos cada que había una inundación lo que los llevo a la capacidad de contar y medir; el primer sistema de medida fue su cuerpo, utilizando la distancia de la punta del dedo medio al codo, llamando esta unidad de medida cúbito. A partir de allí crearon un sistema decimal utilizando los 10 dedos de las manos y lo representaban en jeroglíficos, los egipcios desarrollaron habilidades para resolver problemas de aritmética, idearon formulas y métodos para cálculo de áreas, y operaciones de suma, resta, multiplicación y división tanto de enteros como de las fracciones unitarias, el uso de estas se nace debido a las situaciones mercantiles y agrícolas que les tocaba en su diario vivir.
Inventaron una geometría con fórmulas para calcular volúmenes, áreas y longitudes; con fines prácticos. (Calcular la longitud de las parcelas luego de la inundación, hacer construcciones).
Sus grandes construcciones contienen en si signos matemáticos sorprendentes, unas leyes de proporción que serían demostradas siglos después, entre estas se encuentra en número áureo φ “proporción divina”, al igual que las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo, anticipando lo que sería el teorema de Pitágoras. Los egipcios hicieron uso de estas proporciones, pero no se ocuparon en demostrarlas, lo que hacía que su matemática fuera intuitiva y practicada conforme era su necesidad.
La historia de la civilización es conocida gracias a las construcciones y jeroglíficos dibujados en estas lo que nos muestra su cultura y capacidad de arte; pero es en los papiros (papiro de Rhind, papiro de Moscú), donde se hallan escritos problemas y estructuras matemáticas usadas por los egipcios, donde muestran el gran avance y dominio que tenían en esta materia, entre estos se puede encontrar: Solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, series aritméticas y series geométricas, también los intentos y/o aproximaciones a una geometría analítica, una aproximación a pi π, intento de cuadrar el círculo, además de reglas para estudiar la naturaleza y sus proporciones.
La civilización egipcia con más de tres milenios de historia es considerada la más importante y prospera de la humanidad.
Egyptian civilization
The Egyptian civilization has its first beginnings around 6000 BC known as the predynastic period where populations begin to settle on the banks of the Nile River, some in the north and others in the south, skills of organized cereal agriculture were developed, the livestock and construction.
The Nile river was the key for the Egyptians to achieve a development, as mentioned above, channels were devised with which they could extend the flood of the river to wider spaces thus increasing the amount of fertile land, they learned to identify the behavior of the river , which led them to the need to calculate the time that the river took between one flood and another, thus creating a lunar calendar and then a solar one, in which they counted the days and identified the times of flooding, how long it took in draining the water, the time to sow and the harvest. Besides, there is also the need to measure the land every time there was a flood, which led to the ability to count and measure; The first system of measurement was your body, using the distance from the tip of the middle finger to the elbow, calling this unit of measurement the ulna. From there they created a decimal system using the 10 fingers of the hands and represented it in hieroglyphs, the Egyptians developed skills to solve arithmetic problems, they devised formulas and methods for calculating areas, and operations of addition, subtraction, multiplication and division. both of integers and of unit fractions, the use of these was born due to the commercial and agricultural situations that they had to do in their daily lives.
They invented a geometry with formulas to calculate volumes, areas and lengths; for practical purposes. (Calculate the length of the plots after the flood, make constructions).
His great constructions contain surprising mathematical signs, some laws of proportion that would be demonstrated centuries later, among these is the golden number φ "divine proportion", as well as the proportions of the sides of a right triangle, anticipating what it would be the Pythagorean theorem. The Egyptians made use of these proportions, but did not bother to prove them, which made their mathematics intuitive and practiced as needed.
The history of civilization is known thanks to the buildings and hieroglyphs drawn on them, which shows us their culture and art capacity; but it is in the papyri (Rhind papyrus, Moscow papyrus), where problems and mathematical structures used by the Egyptians are written, where they show the great advance and mastery they had in this matter, among these you can find: Solution of equations linear and quadratic, arithmetic series and geometric series, also the attempts and / or approximations to an analytical geometry, an approximation to pi π, an attempt to square the circle, as well as rules to study nature and its proportions.
The Egyptian civilization with more than three millennia of history is considered the most important and prosperous of humanity.
Civilización Romana
La civilización romana, surge de una pequeña comunidad de cultura agrícola fundada en la península italiana, ciudad de Roma, en el siglo X a. C. (según la tradición en 753 a C) situado a orillas del mar Mediterráneo se convirtió en uno de los mayores imperios del mundo antiguo.
Los romanos eran un pueblo práctico, poco dado a las innovaciones científicas. La mayor utilidad que sacaron a las matemáticas fue la agrimensura que utilizaba el álgebra y la geometría para medir terrenos y aplicar fronteras a las ciudades. los agrimensores utilizaban los triángulos congruentes y otro tipo de procedimientos utilizados por los griegos.
Una de las causas del poco uso que tuvieron los romanos de las matemáticas fue que, para los romanos, los astrólogos recibían el nombre de mathematicii y la astrología era condenada en tiempos de los romanos. Los romanos diferenciaban entre geometría y matemáticas, la primera se enseñaba en las escuelas, pero el “arte de las matemáticas”, es decir la astrología, fue condenado ya que se consideraría una herejía.
Roman civilization
Roman civilization arises from a small community of agricultural culture founded on the Italian peninsula, city of Rome, in the 10th century BC. C. (according to tradition in 753 BC) located on the shores of the Mediterranean Sea became one of the largest empires of the ancient world.The Romans were a practical people, little given to scientific innovations. The greatest utility they derived from mathematics was land surveying, which used algebra and geometry to measure land and apply boundaries to cities. surveyors used congruent triangles and other procedures used by the Greeks.
One of the reasons for the little use that the Romans had of mathematics was that, for the Romans, astrologers were called mathematicii and astrology was condemned in Roman times. The Romans differentiated between geometry and mathematics, the former was taught in schools, but the "art of mathematics", that is, astrology, was condemned as it would be considered heresy.
Civilizacion Sumeria
Es la primera civilización conocida. Su posición geografía es en el oriente medio, al sur de Irak entre los ríos Tigris y Éufrates. En esta región se han encontrado rastros de asentamientos humanos desde 6700 a. C, y con el pasar del tiempo allí fueron surgiendo hitos definitivos en la evolución de la humanidad como lo es la invención de la rueda alrededor del 3500 a. C y la escritura en el 3300 a. C. Los aportes de esta civilización a las matemáticas son tan importantes que bien hoy aún se conservan intactos o bien las consecuencias de estos: uno, es el primer sistema de numeración posicional: el sexagesimal que les permitió trabajar fácilmente con fracciones, manipular números considerablemente grandes, hacer operaciones de suma, resta multiplicación y división de manera ágil. luego, se heredaría este trascendental concepto de posición para crear el actual sistema de posición decimal. El sistema sexagesimal aún se puede encontrar en la forma de medir el tiempo, en los 60 minutos de una hora y los 60 segundos de un minuto; también en 360 grados de una circunferencia. A ellos también se les atribuye el primer sistema metrológico conocido, con el que pudieron manipular longitud, peso, volumen y tiempo. Esta posibilidad de medir los llevo a encontrar algunas ideas geométricas, aritméticas y algebraicas que más tarde fueron base para el desarrollo de conceptos más complejos dentro de esas disciplinas (Sumeria, s.f.).
Sumerian civilization
Civilizacion China
La civilización china es muy antigua, pero existen diferencias entre historiadores ya que algunos datan que su primera obra importante para la historia de las matemáticas es del año 1200 a.C, mientras que otros aseguran que es del año 300 a.C, esta obra es conocida como Chou Pei Suan Ching, en ella, se habla del estudio de las órbitas circulares en el cielo y otros aspectos astronómicos, quizá por esto también se le conoce como el tratado de las Horas Solares.
En general, se sabe que este tratado realiza trabajos geométricos basado en las necesidades de agrimensura de la época y vistos desde el aspecto aritmético o algebraico, por esto aparecen algunas indicaciones relacionadas con el teorema de Pitágoras, así como el uso de fracciones.
Otro tratado de gran importancia es el conocido Chui-chang suan-shu, que data más o menos del 250 a.C. también conocido como el libro de los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, el cual incluye 246 problemas sobre ingeniería, agrimensura, cálculo, propiedades de triángulos, resolución de ecuaciones, etc.
Junto con esta obra, vale rescatar algunos aportes de matemáticos chinos, entre ellos Ch’in Chiu-Shao, de quien se dice fue el autor del título de la tradicional obra los Nueve Capítulos. Este matemático obtuvo un método llamado método del elemento celeste (así se denominaba a la incógnita) para resolver ecuaciones y es parecido al conocido método Horner-Ruffini usado hoy en día para resolver ecuaciones de tercer grado en adelante y para la división entre polinomios.
Otro notable matemático fue Chu Shih-Chieh, de quien se sabe tuvo mayor influencia en las matemáticas durante los años 1280 al 1303 d.C., fue un sabio errante que enseñaba matemática y logró escribir dos tratados, siendo el más importante el conocido como Espejo Precioso de los Cuatro Elementos, escrito en el 1303 d.C.
Boyer, indica que este libro trata sobre sistemas de ecuaciones, trabaja con ecuaciones de grado 14 y recopila el amplio desarrollo del álgebra China. También destaca el uso del método de Horner, el cual era llamado por Chu Shih-Chieh como fan fa.
De esta manera, el trabajo algebraico alcanzado por la civilización china es notorio, se manejó un lenguaje retórico y finalizando el siglo XII, comenzaron a presentar un lenguaje sincopado.
Las situaciones problema se ven afectadas por las complicaciones socioeconómicas, como, por ejemplo: las necesidades de construcción, de transacciones comerciales, la irrigación, el transporte, entre otras, todas estas situaciones llevaban a problemas de carácter aritmético o algebraico.
Para ello se tenía conocimiento de conceptos básicos, como áreas, longitud, operaciones básicas, coeficientes de un binomio, círculo, radio, circunferencia, progresiones y llegaron a tener conocimiento de números negativos. Entre las proposiciones sabían de proporción, de regla de tres, del teorema de Pitágoras y llegaron a plantear métodos para operar con números negativos.
En cuanto a procedimientos, fijaron reglas a situaciones particulares con ecuaciones de segundo grado empleando el método del elemento celeste, el de fan fa, la aproximación de raíces y para ciertos casos las soluciones propuestas eran una serie de pasos sin demostración formal, ajustadas precisamente a casos particulares; y a fin de argumentar sobre los procesos realizados se apoyaban en lo aritmético, lo geométrico y deductivo informal.
Podría asegurarse, que este método fue un aporte crucial de la civilización china a la historia de las matemáticas. Consiste en un cambio de variable para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones polinómicas, que en occidente es conocido como el “método de Horner”, matemático que vivió medio milenio más tarde. En algunos casos obtiene aproximaciones decimales de las raíces.
Otro gran logro de la época medieval china fue la suma de progresiones desarrollada por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó un largo periodo de estancamiento.
Otros interesantes problemas de origen chino son los denominados “cuadrados mágicos”, que podrían utilizarse para trabajar las nociones de igualdad (numérica y algebraica) y equilibrio, y las ecuaciones de primer y segundo grado.
Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, en la que se acomodan ciertos números o expresiones que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma. A este valor se le llama constante mágica. El orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Los cuadrados mágicos de orden impar cumplen la siguiente propiedad: El orden del cuadrado multiplicado por el término central es igual al número mágico.
Chinese civilization
Chinese civilization is very old, but there are differences between historians since some date that their first important work for the history of mathematics is from the year 1200 BC, while others assure that it is from the year 300 BC, this work is known as Chou Pei Suan Ching, in it, talks about the study of circular orbits in the sky and other astronomical aspects, perhaps for this reason it is also known as the Solar Hours treatise.In general, it is known that this treatise performs geometric work based on the surveying needs of the time and seen from the arithmetic or algebraic aspect, for this reason there are some indications related to the Pythagorean theorem, as well as the use of fractions.
Another very important treatise is the well-known Chui-chang suan-shu, which dates from around 250 BC. also known as the Nine Chapters Book on the Art of Mathematics, which includes 246 problems on engineering, surveying, calculus, properties of triangles, solving equations, etc.
Along with this work, it is worth rescuing some contributions from Chinese mathematicians, among them Ch’in Chiu-Shao, who is said to be the author of the title of the traditional work the Nine Chapters. This mathematician obtained a method called the method of the celestial element (thus the unknown was called) to solve equations and it is similar to the well-known Horner-Ruffini method used today to solve equations of third degree onwards and for the division between polynomials.
Another notable mathematician was Chu Shih-Chieh, who is known to have had the greatest influence on mathematics during the years 1280 to 1303 AD, he was a wandering sage who taught mathematics and managed to write two treatises, the most important being known as the Precious Mirror of the Four Elements, written in 1303 AD
Boyer, indicates that this book deals with systems of equations, works with equations of degree 14 and compiles the extensive development of Chinese algebra. It also highlights the use of Horner's method, which was called by Chu Shih-Chieh as a fan fa.
In this way, the algebraic work achieved by the Chinese civilization is notorious, a rhetorical language was handled and at the end of the 12th century, they began to present a syncopated language.
Problem situations are affected by socioeconomic complications, such as: construction needs, commercial transactions, irrigation, transportation, among others, all these situations led to arithmetic or algebraic problems.
For this, they had knowledge of basic concepts, such as areas, length, basic operations, coefficients of a binomial, circle, radius, circumference, progressions and they came to have knowledge of negative numbers. Among the propositions they knew of proportion, of the rule of three, of the Pythagorean theorem and they came to propose methods to operate with negative numbers.
Regarding procedures, they set rules for particular situations with equations of the second degree using the method of the celestial element, that of fan fa, the approximation of roots and for certain cases the solutions proposed were a series of steps without formal proof, adjusted precisely to particular cases; and in order to argue about the processes carried out they relied on the arithmetic, the geometric and the informal deductive.
It could be assured that this method was a crucial contribution of Chinese civilization to the history of mathematics. It consists of a change of variable to obtain approximate solutions of polynomial equations, which in the West is known as the "Horner method", a mathematician who lived half a millennium later. In some cases you get decimal approximations of the roots.
Another great achievement of the Chinese medieval era was the summation of progressions developed by Chon Huo (11th century) and Yang Hui (13th century). Around the middle of the 14th century, a long period of stagnation began.
Other interesting problems of Chinese origin are the so-called "magic squares", which could be used to work on the notions of equality (numerical and algebraic) and equilibrium, and equations of the first and second degree.
A magic square is a grid of 3 x 3, or 4 x 4, or 5 x 5 or, in general, nxn, in which certain numbers or expressions are accommodated that satisfy that the sum of any row, the sum of any column and the sum of any of the two diagonals is always the same. This value is called the magic constant. The order of a magic square is the number of rows or the number of columns it has. Magic squares of odd order fulfill the following property: The order of the square multiplied by the central term is equal to the magic number.
PERSONAJES
Tales de Mileto
Fue un multifacético griego que nació en la ciudad de Mileto en el 624 a. C y murió en la misma el 546 a. C, ubicada en Turquía según la distribución geografía actual. Exploro en áreas como la filosofía, el derecho, la física y la matemática, sus aporten son tan trascendentales que ostenta el título de ser unos de los 7 sabios de la antigua Grecia. Se profundizará en el aporte que hizo a las matemáticas: Es el padre de la demostración, es decir que fue el primero en tratar de construir las matemáticas basándose en la lógica, en axiomas y en teoremas. Forma de razonar que después recoge Euclides en sus libros de geometría. Este tipo de construcción rigurosa no se acaba de perfeccionar y estandarizar en todas las esferas de matemáticas hasta finalizando el siglo XIX y principios del siglo XX. Esta forma de pensar tiene tal relevancia que permite a las matemáticas avanzar rápido y con máxima seguridad y confianza en los conceptos y propiedades ya conquistados (Tales de Mileto, s.f.). También hizo aportes específicos dentro de la geometría, específicamente son 6 teoremas:
1. Toda circunferencia es bisecada por cualquiera de sus diámetros (Peralta, s.f.).
2. Los ángulos de la base de todo triangulo isósceles son siempre congruentes (Peralta, s.f.).
3. Siempre que se cortan dos rectas se forman dos pares de ángulos congruentes, conocidos como apuestos por el vértice (Peralta, s.f.).
4. Si cualquier triangulo A tiene un lado congruente con un triángulo B, además el par de ángulos formados por el lado del triángulo A encuentran su respectivo ángulo congruente en los dos ángulos formados por el lado mencionado del triángulo B entonces los triángulos son congruentes (Peralta, s.f.).
5. Sean A y B los puntos extremos del segmento que representa el diámetro de cualquier circunferencia, y sea C un punto cualquiera en la circunferencia tal que A es diferente de C y B es diferente de C, entonces cualquier triangulo inscrito que se forme bajo estas condiciones será un triángulo rectángulo (Teorema de Tales, s.f.).
6. Sea A cualquier triangulo, y sea l una recta que pasa por el interior del triángulo paralela a cualquiera de los tres lados de este, entonces se forma un triángulo semejante al original (Teorema de Tales, s.f.).
Thales of Miletus
1. Every circumference is bisected by any of its diameters (Peralta, s.f.).
2. The angles of the base of every isosceles triangle are always congruent (Peralta, s.f.).
3. Whenever two lines are cut, two pairs of congruent angles are formed, known as apposed by the vertex (Peralta, s.f.).
4. If any triangle A has a side congruent with a triangle B, furthermore the pair of angles formed by the side of triangle A find their respective angle congruent in the two angles formed by the mentioned side of triangle B then the triangles are congruent ( Peralta, nd).
5. Let A and B be the end points of the segment representing the diameter of any circle, and let C be any point on the circumference such that A is different from C and B is different from C, then any inscribed triangle formed under these conditions will be a right triangle (Thales' Theorem, sf).
6. Let A be any triangle, and let l be a line that passes through the interior of the triangle parallel to any of its three sides, then a triangle similar to the original is formed (Thales' Theorem, s.f.).
Pitagoras
Pitágoras fue un filósofo y considerado el primer matemático puro de la historia, nace en el siglo VI a.C. en la isla de Samos en la antigua Grecia, hijo de un comerciante proveniente de familia pudiente, era un hombre que desde pequeño se le atribuía gran sabiduría y dones proféticos, conto con profesores de música, pintura y lectura en su niñez; en su juventud sus maestros fueron Thales de Mileto quien fue el primer filosofo de la historia y Anaximandro quien fue discípulo de Tales.
Todos los aportes que realizo en la matemática, música y a la astronomía solo fueron conocidos casi 800 años después de su muerte, siglo III d.C. Los cuales fueron dados a conocer por sus discípulos, quienes hacían parte de la escuela pitagórica y comunicaban a los miembros de esta, los consejos de Pitágoras, los cuales eran mantener el silencio, la obediencia, la abstinencia, la sencillez y el autoanálisis.
El pitagorismo consideraba que el “sagrado misterio de la ciencia tiene su centro en la matemáticas, en el estudio del número cuya ley domina en todas las cosas: en los astros, cuyas distancias, magnitudes, y movimientos son regulados por relaciones matemáticas ( geométricas y numéricas); en los sonidos, cuyas relaciones de armonía obedecen a leyes numéricas fijas; en la vida y en la salud, que son proporciones numéricas y armónicas de elementos; en los hechos morales, entre los cuales también la justicia en proporción, etc. De esta manera, concluyen el que el número es la esencia de las cosas y reducen a los números” Rodolfo Mondofo, (1974), Breve historia del pensamiento antiguo. Pag.11-12.
Teniendo en cuanta lo anterior, los logros del pitagorismo pueden reflejarse en los avances en la geometría y aritmética como lo es el teorema de Pitágoras, según el cual, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, números perfectos (entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos), la construcción geométrica de los primeros solidos perfectos (cubo, octaedro, tetraedro, dodecaedro e icosaedro), números amigos (dos números enteros positivos, tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro y viceversa), números poligonales, entre otros.
Dado esto se puede concluir que Pitágoras fue un hombre disciplinado y dedicado a entender la realidad partiendo del estudio de los números, llevándolo esto, a realizar grandes contribuciones matemáticas que se convirtieron en las principales bases de la educación de todas las personas y que son de gran beneficio hoy en día en muchas ciencias y disciplinas.
Pitagoras
Pythagoras was a philosopher and considered the first pure mathematician in history, born in the 6th century BC. On the island of Samos in ancient Greece, the son of a merchant from a wealthy family, he was a man who since childhood was attributed great wisdom and prophetic gifts, he had music, painting and reading teachers in his childhood; in his youth his teachers were Thales of Miletus who was the first philosopher in history and Anaximander who was a disciple of Thales.All the contributions that he made in mathematics, music and astronomy were only known almost 800 years after his death, in the 3rd century AD. Which were made known by his disciples, who were part of the Pythagorean school and communicated to its members, the advice of Pythagoras, which was to maintain silence, obedience, abstinence, simplicity and self-analysis.
Pythagoreanism considered that the “sacred mystery of science has its center in mathematics, in the study of the number whose law dominates in all things: in the stars, whose distances, magnitudes, and movements are regulated by mathematical relations (geometric and numerical); in sounds, whose harmony relationships obey fixed numerical laws; in life and in health, which are numerical and harmonic proportions of elements; in moral facts, among which also justice in proportion, etc. In this way, they conclude that the number is the essence of things and reduce to the numbers ”Rodolfo Mondofo, (1974), Brief history of ancient thought. Pages 11-12.
Taking into account the above, the achievements of Pythagoreanism can be reflected in the advances in geometry and arithmetic such as the Pythagorean theorem, according to which, the sum of the square of the legs is equal to the square of the hypotenuse, (C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2), perfect numbers (positive integer that is equal to the sum of their positive proper divisors), the geometric construction of the first perfect solids (cube, octahedron, tetrahedron, dodecahedron and icosahedron), numbers friends (two positive integers, such that the sum of the proper divisors of one is equal to the other and vice versa), polygonal numbers, among others.
Given this, it can be concluded that Pythagoras was a disciplined man dedicated to understanding reality starting from the study of numbers, leading him to make great mathematical contributions that became the main bases of the education of all people and that are of great benefit today in many sciences and disciplines.
Diofanto de Alejandria
Diofanto de Alejandría, fue un matemático de Grecia, de él no se tiene la claridad acerca del año en que vivió, pero se hace una aproximación entre los siglos III y IV D.C, y gracias al acertijo matemático escrito en la lápida de su tumba, se dedujo que murió a la edad de 84 años, que en su vida tuvo una esposa y un hijo el cual falleciera antes que él.
A pesar de no tener conocimientos exactos acerca de la vida de Diofanto, este fue considerado como el padre del algebra occidental. Su mayor obra y por la que fue reconocido, fue el texto “Arithmetica”, en el cual Diofanto hizo la recolección de problemas algebraicos cuya solución fueran números enteros, unifico todo lo que se sabía del algebra hasta el momento y enriqueció estos con sus aportes y formulas, lo que se conocería como ecuaciones diofánticas y análisis diofántico, que son aquellas ecuaciones que relacionan dos o más incógnitas mediante operaciones aritméticas. Se dice que esta obra la constituían 13 libros, pero solo fueron hallados 6, cuyos problemas planteados varían entre ecuaciones de primer, segundo y tercer grado, y también sobre triángulos rectángulos; problemas a los cuales Diofanto plantea diferentes formas de solución.
La estructura del algebra lineal con dos incógnitas de Diofanto cuenta con la condición de que: dada la fórmula de números naturales, el máximo común divisor (m.c.d) de y debe dividir también a, y dar como resultado un numero entero.
Diofanto creo un lenguaje de símbolos para la aritmética al igual que uno único para la variable, dado que en ese entonces se representaban los números de la misma manera que se las letras, y los números demasiado grandes no tenían una notación, les dio a los números una notación diferente a las letras y para las incógnitas si conservó las letras. Fue el primero en introducir un signo para la resta y para las potencias; y llegó a utilizar potencias mayores a las que se utilizaban comúnmente hasta ese tiempo.
Se especula que Diofanto tenía otras obras, una de ellas llamada “los Porismas”, de la que se sabe de su “existencia” porque hizo mención de esta en su obra “Arithmetica” mencionando algunos de sus contenidos, que fueran: números poligonales, elementos geométricos y preliminares de los elementos geométricos, (de este último tema existe un libro de igual título y es atribuido a Herón de Alejandría), pero esta obra de “Los Porismas” de Diofanto nunca fue encontrada.
Al igual que su nacimiento, su muerte también carece de una fecha y lugar.
Diofanto
Diophantus of Alexandria, was a mathematician from Greece, about him it is not clear about the year in which he lived, but an approximation is made between the 3rd and 4th centuries AD, and thanks to the mathematical riddle written on the tombstone of his grave, it was deduced that he died at the age of 84, that in his life he had a wife and a son who died before him.
Despite not having exact knowledge about the life of Diophantus, he was considered the father of Western algebra. His greatest work and for which he was recognized, was the text "Arithmetica", in which Diophantus collected algebraic problems whose solution were whole numbers, unifying everything that was known about algebra up to now and enriched these with his contributions and formulas, what would be known as Diophantine equations and Diophantine analysis, which are those equations that relate two or more unknowns through arithmetic operations. It is said that this work was made up of 13 books, but only 6 were found, the problems of which vary between equations of the first, second and third degree, and also on right triangles; problems to which Diophantus raises different forms of solution.
The structure of the linear algebra with two unknowns of Diophantus has the condition that: given the formula of natural numbers, the greatest common divisor (m.c.d) of and must also divide a, and result in a whole number.
Diophantus created a language of symbols for arithmetic as well as a unique one for the variable, since at that time numbers were represented in the same way as letters, and too large numbers did not have a notation, he gave the numbers a different notation to the letters and for the unknowns if you kept the letters. He was the first to introduce a sign for subtraction and for powers; and it came to use powers greater than those that were commonly used up to that time.
It is speculated that Diophantus had other works, one of them called "the Porismas", which is known to "exist" because he mentioned it in his work "Arithmetica" mentioning some of its contents, which were: polygonal numbers, Geometric elements and preliminary elements of geometric elements, (there is a book with the same title on this last topic and it is attributed to Herón de Alejandría), but this work of "Los Porismas" by Diophantus was never found.
Like his birth, his death also lacks a date and place.
Rene Descartes
René Descartes, también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y la filosofía moderna, así como uno de los protagonistas con luz propia en el umbral de la revolución científica. Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en la Turena, en La Haye en Touraine, su padre fue Joachim Descartes, consejero en el Parlamento de Bretaña. Era el tercero de los descendientes del matrimonio entre Joachim Descartes, parlamentario de Rennes, y Jeanne Brochard, quien, por vía materna, era nieto del alcalde de Nantes.
De Descartes conocemos la fantástica frase "pienso, luego éxito" que todavía se usa actualmente para determinar algunos parámetros de nuestra vida. Esta frase se incluyó en el discurso del método (1637) y en Principios de la Filosofía (1644).
Para Rene Descartes su pensamiento hacia las matemáticas es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles” Descartes consideraba las matemáticas como la principal ciencia en la cual poder basar todo el conocimiento, debido a su lógica y objetividad.
Hablar de las contribuciones de René Descartes a la historia de las matemáticas es hablar de su La Géométrie (1637), Descartes detalla un programa innovador para la resolución de problemas geométricos, a lo que se refiere como un "cálculo geométrico"
Descartes inventó la convención de representar incógnitas en las ecuaciones con [ x , y , z ] y datos conocidos por [ a , b , c ]. También fue pionero en la notación estándar que usa superíndices para indicar los exponentes; por ejemplo, el 2 utilizado en x 2 para indicar x al cuadrado. Son conocidos los teoremas de Descartes acerca de los defectos angulares, en el que la suma de los defectos angulares de todos los vértices de un poliedro convexo (sin huecos como un cubo) es siempre igual a 4π o 720º, teniendo similitudes con la teorema de Euler para poliedros y el teorema de los círculos de las cuatro tangentes, en donde los inversos k de los radios de cuatro circunferencias mutuamente tangentes satisfacen:
Además, Descartes retó a Pierre de Fermat a que encontrase la tangente en un punto de la curva con ecuación x3 + y3 – 3axy = 0 ( Folium de Descartes), quien la resolvió fácilmente. Los trabajos de Descartes y Fermat proporcionaron la base para el cálculo desarrollado por Newton Leibniz, quienes aplicaron el cálculo infinitesimal al problema de la línea tangente, permitiendo así la evolución de esa rama de las matemáticas modernas. Aunque el mayor logro de Descartes fue el desarrollo de su geometría, también hizo importantes aportaciones en otros campos al campo de la óptica. Mostró utilizando la construcción geométrica y la ley de refracción (también conocida como ley de Descartes o más comúnmente la ley de Snell) que el radio angular de un arco iris es de 42 grados (es decir, el ángulo subtendido en el ojo por el borde del arco iris y el arco). También descubrió de forma independiente la ley de la reflexión, y su ensayo sobre la óptica fue la primera mención publicada de esta ley.
Rene Descartes
René Descartes, also called Renatus Cartesius, was a French philosopher, mathematician and physicist, considered the father of analytical geometry and modern philosophy, as well as one of the protagonists with their own light on the threshold of the scientific revolution. Descartes was born on March 31, 1596 in Touraine, in La Haye en Touraine, his father was Joachim Descartes, councilor in the Parliament of Brittany. He was the third of the descendants of the marriage between Joachim Descartes, a member of the Rennes parliament, and Jeanne Brochard, who, maternally, was the grandson of the mayor of Nantes.
From Descartes we know the fantastic phrase "I think, therefore success" that is still used today to determine some parameters of our life. This phrase was included in the discourse of method (1637) and in Principles of Philosophy (1644).
For Rene Descartes, his thinking towards mathematics is the science of order and measurement, of beautiful chains of reasoning, all simple and easy. ”Descartes considered mathematics as the main science on which to base all knowledge, due to its logic and objectivity.
To speak of René Descartes' contributions to the history of mathematics is to speak of his La Géométrie (1637), Descartes details an innovative program for solving geometric problems, which he refers to as a "geometric calculus"
Descartes invented the convention of representing unknowns in equations with [x, y, z] and data known by [a, b, c]. He also pioneered the standard notation that uses superscripts to indicate exponents; for example, the 2 used in x 2 to denote x squared. Descartes' theorems about angular defects are known, in which the sum of the angular defects of all the vertices of a convex polyhedron (without holes like a cube) is always equal to 4π or 720º, having similarities with the theorem of Euler for polyhedra and the four tangent circles theorem, where the inverses k of the radii of four mutually tangent circles satisfy:
Furthermore, Descartes challenged Pierre de Fermat to find the tangent at a point on the curve with the equation x3 + y3 - 3axy = 0 (Descartes's Folium), who solved it easily. The works of Descartes and Fermat provided the basis for the calculus developed by Newton Leibniz, who applied the infinitesimal calculus to the tangent line problem, thus allowing the evolution of this branch of modern mathematics. Although Descartes's greatest achievement was the development of his geometry, he also made important contributions in other fields to the field of optics. He showed using geometric construction and the law of refraction (also known as Descartes's law or more commonly Snell's law) that the angular radius of a rainbow is 42 degrees (that is, the angle subtended in the eye by the edge rainbow and bow). He also independently discovered the law of reflection, and his essay on optics was the first published mention of this law.
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